Auch wenn die Mengenlehre noch ein relativ junges Gebiet der Mathematik ist, so finden sich ihre Einflüsse in vielen anderen Teildisziplinien, wie beispielsweise in der Stochastik bei der Verknüpfung von Ereignissen. Dieser Artikel gibt einen Überblick über die wichtigsten Begriffe und Schreibweisen von Mengen.
Schreibweise
Mengen werden meistens mit Großbuchstaben definiert. Die einfachst Art eine Menge zu definieren ist aber, Elemente innerhalb zwei geschweifter Klammern aufzulisten: {1, 2, 3}. Damit hätten wir eine Menge mit den Elementen 1, 2 und 3 definiert. Es gibt aber noch etliche weitere Möglichkeiten, Mengen zu definieren (siehe dazu Definition von Mengen).
Mengen und Elemente
Eine Menge ist eine ungeordnete Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen. Daher sind zwei Mengen identisch, welche dieselben Elemente enthalten, aber in einer anderen Reihenfolge. Kommt ein Element in einer Menge mehr als einmal vor, ist es das selbe als wenn ein Element nur einmal vorkommen würde. Es gilt also:
- \( \left \{ a,b,c \right \} \;=\; \left \{ c,a,b \right \} \)
- \( \left \{ a,b,c,c,b \right \} \;=\; \left \{ a,b,c \right \} \)
Elemente einer Menge können alles sein. Zahlen, Buchstaben, Variablen, Matrizen, Worte und andere Mengen sind nur einige Beispiele. Man sagt, ein Element sei ein Element einer Menge, wenn es in dieser Menge vorkommt. Dies wird durch die Schreibweise \( x\in M \) (gelesen als: „x ist Element von M“) angegeben. Umgekehrt kann man auch sagen, ein Element kommt nicht in einer Menge vor. Die Schreibweise hierfür wäre: \( x\notin M \) (gelesen als: „x ist kein Element von M“).
Definition von Mengen
Es gibt verschiedene Arten um Mengen zu definieren:
- Durch Angabe aller Elemente, die in einer Menge vorkommen
\( \left \{ 1,2,3 \right \} \)
- Durch Angabe einer Bedingung, welche die Elemente der Menge erfüllen müssen:
\( \left \{ x \,|\, x=1 \;\,\textup{oder}\;\, x=2 \,\;\mathrm{oder}\;\, x=3 \right \} \)
- Bedingungen können auch als Sätze angegeben werden:
\( \left \{ x \,|\, x \;\textrm{ist eine Primzahl kleiner als 100}\right\} \)
- Da eine Menge Elemente beliebiger Art enthalten kann, muss die Bedingung sich nicht auf Zahlen beziehen:
\( \left \{ x \,|\, x \;\textrm{ist eine Hauptstadt Europas}\right\} \)
Für einige besondere Mengen existieren bereits Symbole. Zu ihnen gehören die Mengen der natürlichen Zahlen (\( \mathbb{N} \)), ganzen Zahlen (\( \mathbb{Z} \)), rationalen Zahlen (\( \mathbb{Q} \)), reellen Zahlen (\( \mathbb{R} \)) und komplexen Zahlen (\( \mathbb{C} \)).
Eigenschaften von Mengen
Gleichheit
Eine Menge wird eindeutig durch ihre Elemente definiert. Die folgenden drei Mengen enthalten alle ausschließlich das Element 2. Sie sind somit mathematisch identisch.
\( \left \{ x \,|\, x \;\text{ist eine gerade Primzahl}\right\} \)
\( \left \{ x \,|\, x \in \mathbb{N} \;\mathrm{und}\; x=\sqrt{4}\right\} \)
\( \left \{ 2\right\} \)
Definition
Zwei Mengen A und B sind dann und nur dann identisch, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind und alle Elemente von B auch Elemente von A sind.
Wie bereits erwähnt, ist eine Menge eine Zusammenfassung unterschiedlicher Elemente. Daher spielt es keine Rolle wie oft ein und dasselbe Element in einer Menge vorkommt, es wird immer nur jeweils einmal gezählt. Es gilt daher:
\( \left \{ 1,2,2,2 \right \} \;=\; \left \{ 1,2 \right \} \)
\( \left \{ \textup{Berlin}, \textup{Brandenburg}, \textup{Berlin}, \textup{Wiesbaden}, \textup{Berlin}\right \} \;=\; \left \{ \textup{Berlin}, \textup{Brandenburg}, \textup{Wiesbaden} \right \} \)
Die Reihenfolge der Elemente innerhalb einer Menge ist unerheblich. Die folgenden Mengen sind alle identisch:
\( \left \{ 1,2,3 \right \} \)
\( \left \{ 3,1,2 \right \} \)
\( \left \{ 1,3,2 \right \} \)
\( \left \{ 3,2,1 \right \} \)
Mengen von Mengen
Auch Mengen selbst können Elemente einer Menge sein. Es gibt dabei aber einige Regeln, die man beachten sollte:
- Eine Menge kann beliebig viele Untermengen haben:
\( \left \{ \vphantom{2^2}\left \{ \left \{ 1 \right \} \vphantom{2^2}\right \},2,\left \{ 3 \right \} \right \} \) - Ein Element einer Beispielmenge A, dass wiederum ein Element einer Untermenge ist, ist nicht Element der Menge A:
\( 1 \notin \left \{ \vphantom{2^2}\left \{ 1 \right \},2,3 \right \} \), allerdings: \( \left \{ 1 \right \} \in \left \{ \vphantom{2^2}\left \{ 1 \right \},2,3 \right \} \)
Es ist wichtig zu beachten, dass in unserem Beispiel nicht das Element 1 selbst Teil der Menge ist, sondern nur die Menge der Zahl 1.
Leere Menge
Die leere Menge ist eine besondere Menge. Sie enthält gar keine Elemente. Sie wird meistens mit dem ZeichenØ geschrieben, aber folgende Schreibweisen sind auch gebräuchlich:
\( \varnothing \)
\( \left \{ \right \} \)
\( \{x \,|\, x \ne x\} \)
Eine Menge mit nur einem einzigen Element wird auch Einermenge genannt. Eine Menge mit genau zwei Elementen wird Paarmenge (oder auch Zweiermenge) genannt.
Mit Mengen rechnen
Teilmengen
Man sagt, eine Menge A sei eine Teilmenge einer anderen Menge B, wenn alle Elemente von A auch in B vorkommen. Dies wird durch das Symbol \( \subseteq \) angezeigt:
\( \{1\} \subseteq \{1,\ 2,\ 3\} \)
\( \{1,\ 2\} \subseteq \{1,\ 2,\ 3\} \)
\( \{1,\ 2,\ 3\} \subseteq \{1,\ 2,\ 3\} \)
Ähnlich wie das Größer-Gleich-Zeichen ≥ und das Kleiner-Gleich-Zeichen ≤ einen Strich unterhalb dem Zeichen haben, um eine mögliche Gleichheit der beiden Größen zu berücksichtigen, so hat auch das Zeichen für eine Teilmenge diesen Strich. Will man hingegen ausschließen, dass beide Mengen gleich sind, so benutzt man das Zeichen \( \subset \). Eine Menge, die zwar eine Teilmenge einer anderen aber nicht mit ihr identisch ist, heißt echte Teilmenge.
\( \{1\} \subset \{1,\ 2,\ 3\} \)
\( \{1,\ 2\} \subset \{1,\ 2,\ 3\} \)
Leere Menge als Teilmenge jeder Menge
Definitionsgemäß ist die leere Menge Teilmenge jeder anderen beliebigen Menge. Es gilt daher:
Wenn A eine Menge ist, dann ist \( \varnothing \subseteq A \).
Vereinigung, Vereinigungsmenge
Hat man zwei Mengen A und B und will eine dritte bilden, die alle Elemente aus A und B enthält, so bildet man die Vereinigungsmenge von A und B, geschrieben als \( A\cup B \).
\( \left \{ 1,2,3 \right \} \cup \left \{ 4,5,6 \right \} = \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} \)
\( \left \{ 1,2,3 \right \} \cup \left \{ 2,3,4 \right \} = \left \{ 1,2,3,4 \right \} \)
Auch bei der Vereinigung zweier Mengen gilt: doppelte Elemente kommen in der Vereinigungsmenge nicht vor.
Schnittmenge, Durchschnittsmenge
Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge, welche alle Elemente enthält, die sowohl in A als auch in B vorkommen, geschrieben als \( A\cap B \).
\( \left \{ 1,2,3 \right \} \cap \left \{ 2,3,4 \right \} \;=\; \left \{ 2,3 \right \} \)
\( \left \{ \frac{1}{2},2,-4 \right \}\cap \mathbb{N} \;=\; \left \{ 2 \right \} \)
Es kann auch vorkommen, dass zwei Mengen keine Schnittmenge bilden. Die beiden Mengen heißen dann disjunkte Mengen. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge:
\( \left \{ 1,2,3 \right \} \cap \left \{ 4,5,6 \right \} \;=\; \varnothing \)
Mengendifferenz
Die Differenz von zwei Mengen A und B ähnelt sehr der Differenz von zwei Zahlen– man entfernt die Elemente der einen Menge aus der anderen. Deshalb spielt im Gegensatz zur Vereinigungsmenge und Schnittmenge die Reihenfolge beider Mengen eine Rolle. Die Differenz der Mengen A und B wird mit einemRückwärtsschrägstrich (\) geschrieben: A \ B.
\( \{2,\ 3,\ 4\} \setminus \{1,\ 3\} \;=\; \{2,\ 4\} \)
\( \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} \;=\; \left\{0,-1,-2,-3,\ldots\right\} \)
Mächtigkeit, Kardinalität
Bei einer Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, gibt die Kardinalität die Anzahl der Elemente in der Menge an. Meist werden zwei Betragsstriche um die Variable der Menge geschrieben (|A|), aber auch ein Doppelkreuz vor der Variablen (#A) ist in einigen Büchern gebräuchlich.
\( A := \left \{ 1,2,3 \right \}, \;\, \left | A \right | = 3 \)
Potenzmenge
Weiteres zur Potenzmenge findet sich in dem Artikel Potenzmenge.
